∑

الرياضيات · الصف 10

ملخص شامل · منهج وزارة التربية الكويت

← كل الموارد

من الأعداد الحقيقية إلى الاحتمالات — كل فصل، بشرح كامل.

دليل دراسة كامل لرياضيات الصف العاشر: ملاحظات فصلًا بفصل، أوراق غش، خلاصة جامعة، وبنك أسئلة صعبة بحلول مفصلة.

الصف 10 وزارة التربية الكويت 2024/2025 9 فصول

الأعداد الحقيقية

أنظمة الأعداد · الخصائص · العمليات · القيمة المطلقة

1.1 أنظمة الأعداد

مجموعة الأعداد الحقيقية (ℝ) هي اتحاد الأعداد النسبية والأعداد غير النسبية.

الأعداد الطبيعية (ℕ): {1, 2, 3, 4, …}
الأعداد الكلية (W): {0, 1, 2, 3, …}
الأعداد الصحيحة (ℤ): {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}
الأعداد النسبية (ℚ): أي عدد يمكن كتابته على الصورة a/b حيث a, b ∈ ℤ و b ≠ 0. صورته العشرية منتهية أو دورية.
الأعداد غير النسبية (ℚ′): لا يمكن كتابتها على الصورة a/b. صورتها العشرية غير منتهية وغير دورية (مثل √2, √3, π).

1.2 خصائص الأعداد الحقيقية

لجميع a, b, c ∈ ℝ:

الخاصية	الجمع	الضرب
التبديلية	a + b = b + a	a · b = b · a
التجميعية	(a + b) + c = a + (b + c)	(a · b) · c = a · (b · c)
العنصر المحايد	a + 0 = a	a · 1 = a
المعكوس	a + (−a) = 0	a · (1/a) = 1, a ≠ 0
التوزيع	a · (b + c) = a·b + a·c

1.3 القيمة المطلقة

القيمة المطلقة للعدد الحقيقي a، وتُكتب |a|، هي بعده عن الصفر على خط الأعداد.

|a| = a إذا كان a ≥ 0; |a| = −a إذا كان a < 0

خاصية أساسية|a| ≥ 0 دائمًا. وكذلك |a·b| = |a|·|b| و |a + b| ≤ |a| + |b| (متباينة المثلث).

1.4 الصيغة العلمية

يكون العدد مكتوبًا بالصيغة العلمية عندما يُكتب على الصورة a × 10ⁿ حيث 1 ≤ |a| < 10 و n عدد صحيح.

5 200 000 = 5.2 × 10⁶; 0.000 31 = 3.1 × 10⁻⁴

⚡ ورقة غش · الفصل 1

ℝ = ℚ ∪ ℚ′

الحقيقية = نسبية + غير نسبية

اختبار النسبية

عشري منتهٍ أو دوري ← نسبي

|a|

البعد عن 0؛ دائمًا ≥ 0

الصيغة العلمية

a × 10ⁿ, 1 ≤ |a| < 10

المعكوس الجمعي

a + (−a) = 0

المعكوس الضربي

a · (1/a) = 1, a ≠ 0

متعددات الحدود

الدرجة · العمليات · التحليل · الجداءات الخاصة

2.1 التعريف والدرجة

متعدد الحدود عبارة جبرية على الصورة aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀ حيث المعاملات aᵢ ∈ ℝ و n عدد صحيح غير سالب. وأعلى أس هو الدرجة.

الدرجة 0: ثابت (مثل 7)
الدرجة 1: خطي (مثل 3x − 2)
الدرجة 2: تربيعي (مثل x² + 5x + 6)
الدرجة 3: تكعيبي (مثل 2x³ − x + 1)

2.2 العمليات

الجمع/الطرح: نجمع الحدود المتشابهة (المتغير نفسه والأس نفسه).

الضرب: نستخدم خاصية التوزيع. لثنائيي حدين نستخدم FOIL: (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd.

2.3 الجداءات الخاصة

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a − b)² = a² − 2ab + b²

(a + b)(a − b) = a² − b²

2.4 التحليل

عامل مشترك: ab + ac = a(b + c)
فرق مربعين: a² − b² = (a + b)(a − b)
مربع كامل ثلاثي الحدود: a² ± 2ab + b² = (a ± b)²
ثلاثي الحدود ax² + bx + c: نبحث عن عددين حاصل ضربهما a·c ومجموعهما b، ثم نجزّئ الحد الأوسط.

مثال محلولحلّل x² + 7x + 12. العددان اللذان حاصل ضربهما 12 ومجموعهما 7 هما 3 و 4. إذن x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4).

⚡ ورقة غش · الفصل 2

الدرجة

أعلى أس للمتغير

(a+b)²

a² + 2ab + b²

(a−b)²

a² − 2ab + b²

a² − b²

(a+b)(a−b)

تحليل ثلاثي الحدود

عددان: حاصل الضرب = a·c، المجموع = b

FOIL

الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير

المعادلات والمتراجحات الخطية

الحل · التمثيل البياني · صيغة المجال

3.1 حل المعادلات الخطية

المعادلة الخطية في متغير واحد على الصورة ax + b = 0 (a ≠ 0). نعزل x باستخدام العمليات العكسية.

x = −b / a

3.2 المتراجحات الخطية

تُحل مثل المعادلات، لكن عند ضرب الطرفين أو قسمتهما على عدد سالب فإن إشارة المتراجحة تنعكس.

تنبيهإذا ضربت أو قسمت على عدد سالب، اقلب < → >، و ≤ → ≥، والعكس.

3.3 صيغة المجال

المتراجحة	الفترة	خط الأعداد
x > a	(a, ∞)	مفتوحة عند a، إلى اليمين
x ≥ a	[a, ∞)	مغلقة عند a، إلى اليمين
a < x < b	(a, b)	مفتوحة من الطرفين
a ≤ x ≤ b	[a, b]	مغلقة من الطرفين

⚡ ورقة غش · الفصل 3

ax + b = 0

x = −b/a

قلب الإشارة

الضرب/القسمة على −1 ← عكس الإشارة

( )

متراجحة تامة (مستبعَد)

[ ]

شاملة (مضمَّن)

نظم المعادلات الخطية

متغيران · التعويض · الحذف · التمثيل البياني

4.1 طرق الحل

نظام معادلتين خطيتين في متغيرين:

a₁x + b₁y = c₁
a₂x + b₂y = c₂

التعويض: نحل إحدى المعادلتين لمتغير ثم نعوّض في الأخرى.
الحذف: نضرب المعادلتين حتى يصير لمتغير معاملان متضادان، ثم نجمع.
التمثيل البياني: الحل هو نقطة التقاطع.

4.2 عدد الحلول

الحالة	الميلان	النتيجة
حل واحد	مختلفان	مستقيمان متقاطعان
لا حل	متساويان، ومقطعان مختلفان	مستقيمان متوازيان
عدد لا نهائي من الحلول	متساويان، والمقطع نفسه	مستقيمان منطبقان

فحص المميزاحسب a₁b₂ − a₂b₁. إذا كان ≠ 0 ← حل واحد؛ إذا كان = 0 و b₁c₂ − b₂c₁ ≠ 0 ← لا حل؛ إذا كان = 0 و b₁c₂ − b₂c₁ = 0 ← عدد لا نهائي من الحلول.

المعادلات التربيعية

الصيغة القياسية · التحليل · القانون العام · المميز

5.1 الصيغة القياسية

ax² + bx + c = 0, a ≠ 0

5.2 طرق الحل

التحليل: نكتب (x − r₁)(x − r₂) = 0، ثم x = r₁ أو x = r₂.
القانون العام:

x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a

5.3 المميز Δ = b² − 4ac

Δ	الجذور	المنحنى ومحور x
Δ > 0	جذران حقيقيان مختلفان	يقطع في نقطتين
Δ = 0	جذر حقيقي مكرر	يمس (مماس)
Δ < 0	لا جذور حقيقية	لا يلتقي محور x

5.4 مجموع وحاصل ضرب الجذور (فييتا)

r₁ + r₂ = −b/a; r₁ · r₂ = c/a

⚡ ورقة غش · الفصل 5

القانون العام

x = (−b ± √Δ)/2a

المميز

Δ = b² − 4ac

Δ > 0

جذران حقيقيان مختلفان

Δ = 0

جذر مكرر واحد

Δ < 0

لا جذور حقيقية

مجموع فييتا

r₁+r₂ = −b/a

الهندسة: المثلثات والأشكال متعددة الأضلاع

الزوايا · التطابق · التشابه · خصائص الأشكال متعددة الأضلاع

6.1 أنواع المثلثات ومجموع الزوايا

مجموع الزوايا الداخلية لأي مثلث يساوي 180°.

حاد: جميع الزوايا < 90°
قائم: زاوية واحدة = 90°
منفرج: زاوية واحدة > 90°
متساوي الأضلاع: 3 أضلاع متساوية، 3 زوايا قياس كل منها 60°
متساوي الساقين: ضلعان متساويان، زاويتان متساويتان
مختلف الأضلاع: لا أضلاع متساوية

6.2 معايير التطابق

القاعدة	المعنى
SAS	ضلعان والزاوية المحصورة بينهما
ASA	زاويتان والضلع المحصور بينهما
SSS	ثلاثة أضلاع
RHS	الزاوية القائمة، الوتر، وضلع

6.3 التشابه

يتشابه مثلثان (≅) إذا تساوت الزوايا المتناظرة وتناسبت الأضلاع. المعايير: AA، SAS (تناسب)، SSS (تناسب).

النسبة الأساسيةإذا كان ΔABC ~ ΔDEF بنسبة k، فإن نسبة المحيط = k، ونسبة المساحة = k².

6.4 الأشكال متعددة الأضلاع

لشكل متعدد الأضلاع عدد أضلاعه n:

مجموع الزوايا الداخلية = (n − 2) × 180°

كل زاوية داخلية (منتظم) = (n − 2) × 180° / n

مجموع الزوايا الخارجية = 360°

حساب المثلثات

النسب · الزوايا الخاصة · حل المثلثات القائمة

7.1 النسب الأساسية الثلاث

في مثلث قائم الزاوية بزاوية θ:

sin θ = المقابل / الوتر
cos θ = المجاور / الوتر
tan θ = المقابل / المجاور

7.2 الزوايا الخاصة

θ	0°	30°	45°	60°	90°
sin θ	0	1/2	√2/2	√3/2	1
cos θ	1	√3/2	√2/2	1/2	0
tan θ	0	√3/3	1	√3	غير معرّف

7.3 المتطابقة الأساسية

sin²θ + cos²θ = 1

7.4 حل المثلثات القائمة

إذا أُعطي أي مقدارين (ويجب أن يكون أحدهما ضلعًا)، يمكن إيجاد بقية الزوايا والأضلاع باستخدام النسب المثلثية ونظرية فيثاغورس a² + b² = c².

⚡ ورقة غش · الفصل 7

SOH

sin = opp/hyp

CAH

cos = adj/hyp

TOA

tan = opp/adj

فيثاغورس

a² + b² = c²

المتطابقة

sin²θ + cos²θ = 1

tan 45°

الإحصاء

مقاييس النزعة المركزية · التشتت · العرض البياني

8.1 مقاييس النزعة المركزية

الوسط الحسابي (المتوسط): x̄ = (Σxᵢ) / n
الوسيط: القيمة الوسطى بعد ترتيب البيانات.
المنوال: القيمة الأكثر تكرارًا.

8.2 مقاييس التشتت

المدى: max − min
التباين: σ² = Σ(xᵢ − x̄)² / n
الانحراف المعياري: σ = √التباين

8.3 العروض البيانية

جدول التكرار: حصر القيم في فئات.
المدرج التكراري: أعمدة لبيانات متصلة مجمّعة.
الصندوق والطرفان: يُظهر الوسيط والربيعيات والمدى.

الربيعياتQ1 = وسيط النصف الأدنى، Q2 = الوسيط، Q3 = وسيط النصف الأعلى. IQR = Q3 − Q1.

الاحتمالات

فضاء العينة · الأحداث · قاعدتا الجمع والضرب

9.1 التعريف الأساسي

P(E) = (النواتج المواتية) / (النواتج الكلية), 0 ≤ P(E) ≤ 1

9.2 الحدث المتمم

P(not E) = 1 − P(E)

9.3 الأحداث المتنافية

أحداث لا يمكن وقوعها معًا:

P(A or B) = P(A) + P(B)

9.4 الأحداث المستقلة

حدث لا يؤثر في الآخر:

P(A and B) = P(A) · P(B)

9.5 قاعدة الجمع العامة

P(A or B) = P(A) + P(B) − P(A and B)

مثال محلولرُمي حجر نرد. P(زوجي أو >4)؟ الزوجي = {2,4,6}، و >4 = {5,6}، والتقاطع = {6}. P = 3/6 + 2/6 − 1/6 = 4/6 = 2/3.

⚡ ورقة غش · الفصلان 8–9

الوسط

Σx / n

الانحراف المعياري

√التباين

IQR

Q3 − Q1

P(E)

المواتية / الكلية

المتمم

1 − P(E)

مستقلة

P(A∩B)=P(A)·P(B)

★

الخلاصة الجامعة

كل ما تحتاجه في صفحة واحدة

تبنى رياضيات الصف العاشر من نظام الأعداد الحقيقية صعودًا. تخضع الأعداد الحقيقية لقوانين التبديل والتجميع والعنصر المحايد والمعكوس والتوزيع؛ وتقيس القيمة المطلقة البعد عن الصفر.

متعددات الحدود تُجمع بضم الحدود المتشابهة وتُضرب بالتوزيع. الجداءات الخاصة الأساسية: (a±b)² = a² ± 2ab + b² و (a+b)(a−b) = a² − b². التحليل يعكس الضرب — العامل المشترك وفرق المربعين وتجزئة ثلاثي الحدود هي الأدوات الجوهرية.

المعادلات الخطية ax + b = 0 لها الحل الوحيد x = −b/a. والمتراجحات تسلك السلوك نفسه إلا أن الإشارة تنقلب عند الضرب أو القسمة على سالب. تُحل النظم بالتعويض أو الحذف أو التمثيل البياني؛ والهندسة (توازٍ، تقاطع، انطباق) تحدد عدد الحلول.

المعادلات التربيعية ax² + bx + c = 0 تُحل بالتحليل أو بالقانون العام x = (−b ± √(b²−4ac))/2a. والمميز Δ = b² − 4ac يقرر طبيعة الجذور. وتربط صيغ فييتا المعاملات بمجموع الجذور وحاصل ضربها.

تتمحور الهندسة حول المثلثات (مجموع الزوايا 180°، التطابق بـ SAS/ASA/SSS/RHS، التشابه بـ AA) والمضلعات (مجموع الزوايا الداخلية (n−2)·180°). ويعرّف حساب المثلثات sin و cos و tan في المثلثات القائمة ويستند إلى sin²θ + cos²θ = 1.

يلخّص الإحصاء البيانات بالوسط والوسيط والمنوال، ويقيس التشتت بالمدى والتباين والانحراف المعياري. وتعيّن الاحتمالات قيمًا من 0 إلى 1 للأحداث، مع قاعدة المتمم (1 − P(E))، وقاعدة الجمع للأحداث المتنافية، وقاعدة الضرب للأحداث المستقلة.

أسئلة صعبة

أسئلة صعبة، بحلول كاملة

إذا كان x = 3 − √2، فأوجد قيمة x² − 6x + 7 دون استخدام تقريب للآلة الحاسبة لـ √2.

الحل: لاحظ أن x − 3 = −√2، إذن (x − 3)² = 2. بالفك: x² − 6x + 9 = 2، ومنه x² − 6x + 7 = 2 − 9 + 7 = 0. الإجابة: 0.

حل: |2x − 5| = |x + 1|.

الحل: إما 2x − 5 = x + 1 أو 2x − 5 = −(x + 1). الحالة 1: 2x − x = 1 + 5 → x = 6. الحالة 2: 2x − 5 = −x − 1 → 3x = 4 → x = 4/3. الإجابة: x = 6 أو x = 4/3.

ما قيمة k التي تجعل النظام 3x + 2y = 5 و 6x + 4y = k له عدد لا نهائي من الحلول؟

الحل: العدد اللانهائي من الحلول يعني أن المعادلتين متناسبتان. نسبة معاملي x: 6/3 = 2. إذن يجب أن يساوي k/5 أيضًا 2 → k = 10. الإجابة: k = 10.

المعادلة التربيعية (m−1)x² + 2x + 3 = 0 لها جذران متساويان. أوجد m.

الحل: الجذران المتساويان ⟺ المميز = 0. Δ = 2² − 4(m−1)(3) = 4 − 12(m−1) = 4 − 12m + 12 = 16 − 12m. نضع 16 − 12m = 0 → m = 16/12 = 4/3. الإجابة: m = 4/3.

في مثلث، الزوايا بنسبة 2 : 3 : 4. أوجد كل زاوية وبيّن نوع المثلث.

الحل: المجموع = 180°، الأجزاء = 9، إذن الجزء الواحد = 20°. الزوايا: 40°، 60°، 80°. جميعها < 90°، فهو مثلث حاد.

من نقطة على الأرض تبعد 20 m عن قاعدة عمود رأسي، زاوية الارتفاع إلى القمة 30°. أوجد ارتفاع العمود (اترك الناتج على صورة جذر).

الحل: tan 30° = h/20 → h = 20 tan 30° = 20 × (√3/3) = 20√3/3 m. الإجابة: 20√3/3 m ≈ 11.5 m.

كيس فيه 5 كرات حمراء و 3 زرقاء. سُحبت كرتان دون إرجاع. أوجد احتمال أن تكونا حمراوين.

الحل: P(الأولى حمراء) = 5/8. بعد سحب حمراء، P(الثانية حمراء) = 4/7. P(كلتاهما حمراء) = (5/8)(4/7) = 20/56 = 5/14. الإجابة: 5/14.

وسط 5 أعداد يساوي 12. أُضيف عدد سادس فأصبح الوسط الجديد 13. أوجد العدد السادس.

الحل: مجموع الخمسة الأولى = 5 × 12 = 60. مجموع الستة = 6 × 13 = 78. السادس = 78 − 60 = 18. الإجابة: 18.