استخدم المتطابقات لإعادة الكتابة، ثم حلّل وحل كل عامل. أوجد جميع الحلول في الفترة المطلوبة باستخدام دائرة الوحدة / الزوايا المرجعية.
مثال محلولحل 2 sin²x − sin x − 1 = 0 حيث 0° ≤ x < 360°. ضع u = sin x: 2u² − u − 1 = 0 → (2u + 1)(u − 1) = 0 → u = −1/2 أو u = 1. sin x = 1 → x = 90°. sin x = −1/2 (سالب → الربعان 3 و 4)، الزاوية المرجعية 30° → x = 210°، 330°. الإجابة: x = 90°، 210°، 330°.
⚡ ورقة غش · الفصلان 5–6
المسافة
√((Δx)²+(Δy)²)
نقطة المنتصف
((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
الميل
Δy / Δx
التعامد
m₁·m₂ = −1
متطابقة فيثاغورس
sin²θ + cos²θ = 1
sin 2θ
2 sinθ cosθ
cos 2θ
cos²θ − sin²θ
π rad
180°
7
المصفوفات والمحددات
العمليات · محدد 2×2 · قاعدة كرامر (مقدمة)
7.1 عمليات المصفوفات
الجمع/الطرح: الرتبة نفسها؛ اجمع العناصر المتناظرة.
الضرب في عدد: اضرب كل عنصر في العدد.
ضرب المصفوفات: إذا كانت A من الرتبة m×p و B من الرتبة p×n فإن AB من الرتبة m×n حيث (AB)ᵢⱼ = Σₖ Aᵢₖ Bₖⱼ. يجب أن يساوي عدد أعمدة A عدد صفوف B.
غير إبداليعمومًا AB ≠ BA. تحقق دائمًا من الترتيب عند ضرب المصفوفات.
7.2 محدد مصفوفة 2×2
للمصفوفة A = [[a, b], [c, d]]:
|A| =ad−bc
7.3 قاعدة كرامر (نظم 2×2)
لحل النظام ax + by = e، cx + dy = f، ضع D = ad − bc (محدد المعاملات). إذا D ≠ 0:
x= (ed−bf) / D, y= (af−ce) / D
مثال محلولحل 2x + y = 5 و x − 3y = −8 بقاعدة كرامر. D = 2(−3) − 1(1) = −7. D_x = 5(−3) − 1(−8) = −7 → x = (−7)/(−7) = 1. D_y = 2(−8) − 5(1) = −21 → y = (−21)/(−7) = 3. الإجابة: x = 1، y = 3.
8
الاحتمالات
التباديل · التوافيق · الاحتمال الشرطي
8.1 مبادئ العد
مبدأ العد الأساسي: إذا أمكن إنجاز المهمة 1 بـ m طريقة والمهمة 2 بـ n طريقة فإن كليهما يُنجزان بـ m × n طريقة.
التباديل (الترتيب مهم): nPr=n! / (n − r)!
التوافيق (الترتيب غير مهم): nCr=n! / (r! (n − r)!)
مثال محلولصندوق فيه 4 كرات حمراء و 6 زرقاء. سُحبت ثلاث دون إرجاع. أوجد احتمال كرتين حمراوين بالضبط. إجمالي الطرق = C(10, 3) = 120. الملائم = C(4, 2) · C(6, 1) = 6 · 6 = 36. P = 36/120 = 3/10.
⚡ ورقة غش · الفصلان 7–8
محدد 2×2
ad − bc
كرامر x
(ed − bf)/D
كرامر y
(af − ce)/D
nPr
n!/(n−r)! — الترتيب مهم
nCr
n!/(r!(n−r)!) — الترتيب غير مهم
P(A|B)
P(A∩B)/P(B)
المتمم
1 − P(E)
0!
1
★
الخلاصة الجامعة
كل ما تحتاجه في صفحة واحدة
تمتد رياضيات الصف الحادي عشر عن الصف العاشر بتحويل المعادلات التربيعية إلى دوال تربيعية: صيغة الرأس a(x − h)² + k تحدّد الرأس (h, k)، ومحور التماثل x = −b/2a، والقطع يفتح إلى الأعلى إذا a > 0 (أصغر) أو إلى الأسفل إذا a < 0 (أعظم).
تُقسم متعددات الحدود بالقسمة المطوّلة؛ تربط مبرهنة الباقي (P(c) يساوي الباقي عند القسمة على x − c) ومبرهنة العامل ((x − c) عامل ⟺ P(c) = 0) القسمة بالتقييم. تتبع التعابير الكسرية قواعد الكسور — حلّل، اختصر العوامل المشتركة، ولا تقسم على صفر أبدًا.
تجمع قوانين الأسس القوى؛ واللوغاريتمات تعكس الأسيات — logₐ(x) = c ⟺ aᶜ = x. استخدم قواعد الجداء والقسمة والقوة لتوسيع اللوغاريتمات أو ضغطها ثم حوّل إلى الصورة الأسية للحل.
المتتاليات حسابية (فرق ثابت d، aₙ = a₁ + (n−1)d) أو هندسية (نسبة ثابتة r، aₙ = a₁·r^(n−1)). مجاميعها الجزئية Sₙ = n/2·(a₁ + aₙ) للحسابية و Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) للهندسية؛ وتتقارب الهندسية اللانهائية إلى a₁/(1 − r) عندما |r| < 1.
تستخدم الهندسة التحليلية قانوني المسافة ونقطة المنتصف، والميل m = Δy/Δx، وأربع صور للمستقيم. للمستقيمات المتوازية ميلان متساويان؛ وللمتعامدة ميلان جداءهما −1.
ينتقل حساب المثلثات إلى دائرة الوحدة والراديان (π = 180°). المتطابقة الفيثاغورية sin²θ + cos²θ = 1 ومتطابقات ضعف الزاوية تسمح بتبسيط المعادلات المثلثية وحلها بالتحليل.
تُجمع المصفوفات وتُطرح وتُضرب (بشرط أعمدة A تساوي صفوف B). محدد 2×2 وهو ad − bc يمكّن قاعدة كرامر لحل نظم خطية 2×2. يستخدم الاحتمال nPr (الترتيب مهم) و nCr (الترتيب غير مهم)؛ والاحتمال الشرطي P(A | B) = P(A ∩ B)/P(B) يؤدي إلى قاعدة الضرب.
أسئلة صعبة
أسئلة صعبة، بحلول كاملة
أوجد جميع قيم k بحيث يكون لـ f(x) = x² + (k + 2)x + k + 5 نقطة تقاطع واحدة مع محور x (جذر مكرر).
الحل: نقطة تقاطع واحدة ⟺ المميز = 0. Δ = (k + 2)² − 4·1·(k + 5) = k² + 4k + 4 − 4k − 20 = k² − 16. ضع k² − 16 = 0 → k = ±4. الإجابة: k = 4 أو k = −4.
عند قسمة P(x) = x³ + 2x² − 3x + k على (x − 2) يكون الباقي 8. أوجد k.
الحل: بمبرهنة الباقي P(2) = 8. الحساب: 2³ + 2·2² − 3·2 + k = 8 + 8 − 6 + k = 10 + k. ضع 10 + k = 8 → k = −2. الإجابة: k = −2.
حل من أجل x: 4ˣ = 8^(x − 1).
الحل: أعد الكتابة بالأساس 2: 2^(2x) = 2^(3(x − 1)). تساوي الأساسين → تساوي الأسين: 2x = 3x − 3 → x = 3. الإجابة: x = 3.
حل: log₃(x) + log₃(x − 2) = 1.
الحل: اجمع في لوغاريتم واحد: log₃(x(x − 2)) = 1 → x² − 2x = 3 → x² − 2x − 3 = 0 → (x − 3)(x + 1) = 0. المرشحان x = 3 أو x = −1. ارفض x = −1 (لوغاريتم السالب غير معرّف). الإجابة: x = 3.
الحد الثالث لمتتالية حسابية 7 والحد الثامن 22. أوجد a₁ و d و S₂₀.
المستقيم L يمر بالنقطة (1, 2) وهو عمودي على 2x + 3y = 6. أوجد معادلة L بالصورة العامة.
الحل: 2x + 3y = 6 → y = −(2/3)x + 2، فميله −2/3. ميل العمودي هو المقلوب السالب: 3/2. استخدم نقطة-ميل عند (1, 2): y − 2 = (3/2)(x − 1) → 2y − 4 = 3x − 3 → 3x − 2y + 1 = 0. الإجابة: 3x − 2y + 1 = 0.
حل 2 sin²θ − sin θ − 1 = 0 حيث 0° ≤ θ < 360°.
الحل: ضع u = sin θ. إذن 2u² − u − 1 = 0 → (2u + 1)(u − 1) = 0 → u = −1/2 أو u = 1. إذا sin θ = 1 → θ = 90°. إذا sin θ = −1/2 فالزاوية المرجعية 30° والجيب سالب في الربعين 3 و 4 → θ = 210°، 330°. الإجابة: θ = 90°، 210°، 330°.
صندوق فيه 4 كرات حمراء و 6 زرقاء. سُحبت ثلاث عشوائيًا دون إرجاع. أوجد احتمال كرتين حمراوين بالضبط.
الحل: إجمالي طرق اختيار 3 من 10 = C(10, 3) = 120. الملائم: اختيار 2 حمراء من 4 و 1 زرقاء من 6 = C(4, 2)·C(6, 1) = 6·6 = 36. P = 36/120 = 3/10. الإجابة: 3/10.