∫

الرياضيات · الصف 12

ملخص شامل · منهج وزارة التربية الكويت

← كل الموارد

من الدوال إلى التكاملات والمتجهات — كل فصل، بشرح كامل.

دليل دراسة كامل لرياضيات الصف الثاني عشر: ملاحظات فصلًا بفصل، أوراق غش، خلاصة جامعة، وبنك أسئلة صعبة بحلول مفصلة.

الصف 12 وزارة التربية الكويت 2024/2025 6 فصول
1
الدوال
المجال · المدى · التركيب · الدالة العكسية · واحد لواحد وشامل
1.1 التعريف والمجال والمدى

الدالة f : X → Y تُسند إلى كل عنصر x في المجال X عنصرًا واحدًا فقط f(x) في المجال المقابل Y.

1.2 أنواع الدوال
النوعالتعريف
واحد لواحد (متباينة)مدخلات مختلفة تعطي مخرجات مختلفة (تجتاز اختبار الخط الأفقي)
شاملة (غامرة)كل عنصر في المجال المقابل يُصيبُه مدخل ما
تقابليةمتباينة وشاملة معًا — لها دالة عكسية
1.3 تركيب الدوال
(f ∘ g)(x) = f(g(x))

مجال f ∘ g = {x في مجال g : g(x) ينتمي إلى مجال f}.

1.4 الدوال العكسية

توجد الدالة العكسية f⁻¹ إذا وفقط إذا كانت f واحد لواحد. وتحقق f⁻¹(f(x)) = x و f(f⁻¹(y)) = y.

مثال محلولأوجد الدالة العكسية لـ f(x) = 2x + 3.
ضع y = 2x + 3 وحل بالنسبة إلى x: x = (y − 3)/2. بدّل الحرفين: f⁻¹(x) = (x − 3)/2.
تنبيهمجال f⁻¹ يساوي مدى f. اذكر دائمًا القيود، ولا سيما للدوال الكسرية أو دوال الجذر التربيعي.

⚡ ورقة غش · الفصل 1

واحد لواحد
مدخلات متمايزة → مخرجات متمايزة
وجود العكسية
⟺ الدالة واحد لواحد
التركيب
(f ∘ g)(x) = f(g(x))
f ∘ f⁻¹
= المحايد = x
مجال f⁻¹
= مدى f
دالة زوجية
f(−x) = f(x)
2
النهايات
المفهوم · قوانين النهايات · النهايات من جهة واحدة · الصور غير المعينة
2.1 فكرة النهاية

نكتب lim_{x→a} f(x) = L لنعبّر عن أن f(x) يمكن جعلها قريبة اعتباطيًا من L بأخذ x قريبًا بما يكفي من a (دون أن يساوي a).

2.2 قوانين النهايات

إذا كانت lim_{x→a} f(x) = L و lim_{x→a} g(x) = M موجودتين، فإن:

lim(f ± g) = L ± M  |  lim(f·g) = L·M  |  lim(f/g) = L/M (M ≠ 0)
lim(c·f) = c·L  |  lim fn = Ln
2.3 النهايات من جهة واحدة
2.4 النهايات عند المالانهاية والصور غير المعينة
lim_{x→∞} (1/x) = 0  |  lim_{x→−∞} (1/x) = 0

للدالة الكسرية عند المالانهاية يسود الحد الأعلى درجة. الصورة 0/0 (أو ∞/∞) غير معينة — تُحل بالتحليل أو التبسيط أو الترشيد قبل التعويض.

مثال محلولأوجد lim_{x→2} (x² − 4)/(x − 2).
التعويض x = 2 يعطي 0/0 — صورة غير معينة. حلّل: (x − 2)(x + 2)/(x − 2) = x + 2 (عندما x ≠ 2). إذن النهاية تساوي 2 + 2 = 4.

⚡ ورقة غش · الفصل 2

قانون الجمع/الطرح
lim(f ± g) = L ± M
قانون الجداء
lim(f·g) = L·M
قانون القسمة
lim(f/g) = L/M, M ≠ 0
1/x → 0
عندما x → ±∞
صورة غير معينة
0/0 أو ∞/∞ — حلّل أولًا
نهاية من الجهتين
توجد ⟺ النهايتان من جهة واحدة متساويتان
3
التفاضل
التعريف · القواعد · المماسات · التزايد والتناقص · القيم المتطرفة
3.1 تعريف المشتقة
f′(x) = lim_{h→0} [f(x+h) − f(x)] / h

المشتقة f′(x) هي معدل التغير اللحظي للدالة f عند x، أو ميل المماس للمنحنى عند النقطة (x, f(x)).

3.2 قواعد التفاضل
قاعدة القوة: d/dx(xn) = n·xn−1
مضاعف ثابت: d/dx(c·f) = c·f′
قاعدة الجمع: d/dx(f ± g) = f′ ± g′
قاعدة الجداء: d/dx(f·g) = f·g′ + g·f′
قاعدة القسمة: d/dx(f/g) = (g·f′ − f·g′) / g²
قاعدة السلسلة: d/dx f(g(x)) = f′(g(x))·g′(x)
3.3 المماسات

معادلة المماس للدالة f عند x = a هي:

y − f(a) = f′(a) · (x − a)
3.4 التزايد/التناقص والقيم المتطرفة
مثال محلولأوجد النقاط الحرجة لـ f(x) = x³ − 3x² + 2 وصنّفها.
f′(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2). النقاط الحرجة: x = 0 و x = 2.
f″(x) = 6x − 6. f″(0) = −6 < 0 → أعظم محلي عند (0, 2). f″(2) = 6 > 0 → أصغر محلي عند (2, −2).

⚡ ورقة غش · الفصل 3

قاعدة القوة
d/dx xⁿ = n·xⁿ⁻¹
قاعدة الجداء
(fg)′ = fg′ + gf′
قاعدة القسمة
(f/g)′ = (gf′−fg′)/g²
قاعدة السلسلة
(f(g))′ = f′(g)·g′
معادلة المماس
y − f(a) = f′(a)(x − a)
اختبار المشتقة الثانية
f″ > 0 → أصغر؛ f″ < 0 → أعظم
4
التكامل
الدوال الأصلية · قاعدة القوة · التكامل المحدد · النظرية الأساسية · المساحة
4.1 الدوال الأصلية

F دالة أصلية لـ f إذا كان F′(x) = f(x). تختلف جميع الدوال الأصلية بثابت، لذلك نكتب:

∫ f(x) dx = F(x) + C
4.2 قاعدة القوة للتكامل
∫ xn dx = xn+1/(n+1) + C, n ≠ −1
∫ k dx = kx + C  |  ∫ (f ± g) dx = ∫f dx ± ∫g dx
4.3 التكامل المحدد والنظرية الأساسية
∫ab f(x) dx = F(b) − F(a), حيث F′ = f

هذه هي النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل: التفاضل والتكامل عمليتان عكسيتان.

4.4 المساحة تحت المنحنى

إذا كان f(x) ≥ 0 على [a, b]، فإن المساحة بين المنحنى ومحور x تساوي ∫_a^b f(x) dx. وإذا هبطت f تحت المحور، يعطي التكامل مساحة مُشار إليها — خذ القيم المطلقة للمساحة الهندسية.

مثال محلولأوجد ∫_0^2 (x² + 1) dx.
الدالة الأصلية F(x) = x³/3 + x. F(2) − F(0) = (8/3 + 2) − 0 = 8/3 + 6/3 = 14/3.
5
المتجهات
المقدار · الاتجاه · العمليات · الجداء السلمي · متجهات الوحدة
5.1 المتجهات مقابل القيم القياسية

الكمية القياسية لها مقدار فقط (مثل الكتلة ودرجة الحرارة). أما المتجه فله مقدار واتجاه معًا (مثل القوة والسرعة المتجهة). بالصورة المركّبة: v = (v_x, v_y) = v_x·î + v_y·ĵ.

5.2 المقدار والاتجاه
|v| = √(vx² + vy²)
زاوية الاتجاه: θ = tan⁻¹(vy / vx) (عدّل الربع حسب الحاجة)
5.3 العمليات
5.4 الجداء السلمي
u · v = uxvx + uyvy = |u| · |v| · cos(θ)
مثال محلولu = (3, 4) و v = (1, 2). أوجد u · v و |u|.
u · v = 3·1 + 4·2 = 11. |u| = √(9 + 16) = √25 = 5.

⚡ ورقة غش · الفصلان 4–5

∫ xⁿ dx
xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ −1)
التكامل المحدد
F(b) − F(a)
المساحة تحت f
∫_a^b f(x) dx (f ≥ 0)
|v|
√(v_x² + v_y²)
الجداء السلمي
u·v = u_xv_x + u_yv_y
التعامد
u·v = 0
متجه الوحدة
û = v/|v|
الزاوية بين u و v
cosθ = u·v/(|u||v|)
6
التوزيعات الاحتمالية
المتغيرات العشوائية المتقطعة · المتوسط والتباين · التوزيع الثنائي
6.1 المتغيرات العشوائية

المتغير العشوائي X يُسند قيمة عددية إلى كل ناتج من نواتج تجربة. وهو متقطع إذا أخذ عددًا قابلًا للعد من القيم (مثل عدد الصور في 3 رميات لعملة)، ومتصل إذا أخذ قيمًا في فترة (مثل طول مقيس).

6.2 التوزيع الاحتمالي

التوزيع الاحتمالي لمتغير متقطع X يسرد كل قيمة x مع احتمالها P(X = x)، ويحقق:

Σ P(X = x) = 1, مع 0 ≤ P(X = x) ≤ 1
6.3 المتوسط والتباين
المتوسط (القيمة المتوقعة): μ = E(X) = Σ x · P(X = x)
التباين: σ² = Σ (x − μ)² · P(X = x) = E(X²) − μ²
الانحراف المعياري: σ = √(σ²)
6.4 التوزيع الثنائي

يكون X ثنائيًا، X ~ B(n, p)، إذا عدّ عدد النجاحات في n تجربة مستقلة لكل منها احتمال نجاح p.

P(X = k) = C(n, k) · pk · (1 − p)n−k
المتوسط: μ = np  |  التباين: σ² = np(1 − p)
مثال محلولتُرمى عملة متزنة 3 مرات. ليكن X = عدد الصور. أوجد التوزيع والمتوسط.
X = 0: P = (1/2)³ = 1/8. X = 1: P = C(3,1)·(1/2)·(1/2)² = 3/8. X = 2: P = C(3,2)·(1/2)²·(1/2) = 3/8. X = 3: P = 1/8.
μ = 0·(1/8) + 1·(3/8) + 2·(3/8) + 3·(1/8) = (0 + 3 + 6 + 3)/8 = 12/8 = 1.5. (وبالمكافئ، μ = np = 3·(1/2) = 1.5.)

⚡ ورقة غش · الفصل 6

مجموع الاحتمالات
= 1
E(X)
Σ x·P(x)
Var(X)
E(X²) − μ²
σ
√Var(X)
الثنائي P(X=k)
C(n,k)·pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ
متوسط B(n,p)
np
تباين B(n,p)
np(1−p)
X متقطع
قيم قابلة للعد
★
الخلاصة الجامعة
كل ما تحتاجه في صفحة واحدة
يفتتح الصف 12 بـالدوال: المجال مجموعة المدخلات المسموح بها والمدى المخرجات الفعلية. تكون الدالة واحد لواحد إذا أعطت مدخلات مختلفة مخرجات مختلفة، وشاملة إذا أُصيب كل عنصر في المجال المقابل. التركيب (f ∘ g)(x) = f(g(x)) يسلسل الدوال، وتوجد العكسية تمامًا عندما تكون الدالة واحد لواحد.
النهايات تصف اقتراب f(x) من قيمة L عندما x → a. تسمح قوانين النهايات بفصل المجاميع والجداءات والنسب؛ وتتفق النهايتان من جهة واحدة تمامًا عندما توجد النهاية من الجهتين. الصورة 0/0 غير معينة — حلّل أو بسّط قبل التعويض.
التفاضل هو معدل التغير اللحظي، ويُعرَّف بنهاية خارج قسمة الفرق. قاعدة القوة (d/dx xⁿ = n·xⁿ⁻¹) مع قواعد الجمع والجداء والقسمة والسلسلة تفاضل تقريبًا كل دالة أولية. تعطي المشتقة ميل المماس (y − f(a) = f′(a)(x − a)) وتحدد القيم المتطرفة عبر النقاط الحرجة (f′ = 0) واختبار المشتقة الثانية.
التكامل هو إيجاد الدالة الأصلية: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C. وتربط النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل التكامل المحدد بالدالة الأصلية: ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a). هندسيًا، هذا يعطي المساحة المُشار إليها بين المنحنى ومحور x.
المتجهات تحمل مقدارًا (√(v_x² + v_y²)) واتجاهًا (tan⁻¹(v_y/v_x)). تُجمع مركّبة فمركّبة، وتُضرب في عدد قياسي k·(a, b) = (ka, kb)، والجداء السلمي u · v = u_x v_x + u_y v_y = |u||v|cos θ — ويساوي صفرًا تمامًا عندما يكون المتجهان متعامدين.
التوزيعات الاحتمالية تربط احتمالات (مجموعها 1) بقيم متغير عشوائي. يصف المتوسط μ = E(X) = Σ x·P(x) والتباين σ² = E(X²) − μ² المركز والانتشار. والتوزيع الثنائي B(n, p) يعدّ النجاحات في n تجربة مستقلة بمتوسط np وتباين np(1 − p).
أسئلة صعبة

أسئلة صعبة، بحلول كاملة

أوجد الدالة العكسية لـ f(x) = (2x − 1)/(x + 3). اذكر مجال f⁻¹.
الحل: ضع y = (2x − 1)/(x + 3). ثم y(x + 3) = 2x − 1 → xy + 3y = 2x − 1 → xy − 2x = −1 − 3y → x(y − 2) = −(1 + 3y) → x = (1 + 3y)/(2 − y). بتبديل الحرفين: f⁻¹(x) = (3x + 1)/(2 − x). مجال f⁻¹ = مدى f، ويستثني 2 (قيمة الخط التقاربي الأفقي). الإجابة: f⁻¹(x) = (3x + 1)/(2 − x)، المجال x ≠ 2.
أوجد lim_{x→3} (x² − 9)/(x² − 3x).
الحل: التعويض المباشر يعطي 0/0 (صورة غير معينة). حلّل: البسط = (x − 3)(x + 3)، المقام = x(x − 3). اختصر (x − 3) (x ≠ 3): lim_{x→3} (x + 3)/x = (3 + 3)/3 = 2. الإجابة: 2.
أوجد معادلة المماس لـ f(x) = x² − 4x + 1 عند x = 3.
الحل: النقطة: f(3) = 9 − 12 + 1 = −2، أي (3, −2). الميل: f′(x) = 2x − 4، إذن f′(3) = 2. المماس: y − (−2) = 2(x − 3) → y + 2 = 2x − 6 → y = 2x − 8. الإجابة: y = 2x − 8.
أوجد جميع النقاط الحرجة لـ f(x) = x³ − 3x + 1 وصنّف كلًّا منها أعظم محليًا أو أصغر محليًا.
الحل: f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1). النقاط الحرجة: x = 1 و x = −1. f″(x) = 6x. f″(−1) = −6 < 0 → أعظم محلي؛ f(−1) = −1 + 3 + 1 = 3، إذن (−1, 3) أعظم محلي. f″(1) = 6 > 0 → أصغر محلي؛ f(1) = 1 − 3 + 1 = −1، إذن (1, −1) أصغر محلي. الإجابة: أعظم محلي (−1, 3)، أصغر محلي (1, −1).
أوجد ∫_0^3 (2x² − x + 1) dx.
الحل: الدالة الأصلية F(x) = 2x³/3 − x²/2 + x. F(3) − F(0) = (2·27/3 − 9/2 + 3) − 0 = (18 − 4.5 + 3) = 16.5 = 33/2. الإجابة: 33/2 (16.5).
أوجد المساحة المحصورة بين y = x² و y = 4.
الحل: يتقاطع المنحنيان عندما x² = 4 → x = ±2. على [−2, 2]، 4 ≥ x². المساحة = ∫_{−2}^{2} (4 − x²) dx = [4x − x³/3]_{−2}^{2} = (8 − 8/3) − (−8 + 8/3) = 16/3 − (−16/3) = 32/3. الإجابة: 32/3 وحدة مربعة.
إذا كان u = (3, −2) و v = (−4, 6)، أوجد u · v والزاوية θ بين u و v.
الحل: u · v = 3(−4) + (−2)(6) = −12 − 12 = −24. |u| = √(9 + 4) = √13. |v| = √(16 + 36) = √52 = 2√13. cos θ = u·v / (|u||v|) = −24/(√13 · 2√13) = −24/26 = −12/13. إذن θ = cos⁻¹(−12/13) ≈ 157.4°. الإجابة: u·v = −24، θ = cos⁻¹(−12/13) ≈ 157.4°.
يُرمى حجر نرد متزن. ليكن X = العدد الظاهر. أوجد متوسط X وانحرافه المعياري.
الحل: كل قيمة من 1–6 لها P = 1/6. المتوسط: μ = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)/6 = 21/6 = 3.5. E(X²) = (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36)/6 = 91/6. التباين σ² = E(X²) − μ² = 91/6 − (7/2)² = 91/6 − 49/4 = (182 − 147)/12 = 35/12. σ = √(35/12) ≈ 1.71. الإجابة: μ = 3.5، σ ≈ 1.71.